Machine à courant continu

Machine à courant continu
Niveau BAC +

I. Introduction :

L’énergie électrique et l’énergie mécanique sont les principales sources d’énergie mises en œuvre industriellement. Si on dispose de l’une de ces sources, une conversion peut être réalisée avec les machines électriques. On utilise :

  • Un moteur pour convertir l’énergie électrique en énergie mécanique.
  • Une génératrice pour convertir l’énergie mécanique en énergie électrique.
On peut distinguer :
  • Les machines à courant continu qui fonctionnent avec des tensions/courants continues.
  • Les machines à courant alternatifs qui fonctionnent avec des tensions/courants triphasées et parfois avec une tension monophasée.
II. Mise en situation:
1. Chaîne de transfert de l’énergie:
machine à courant continu
2. Régimes de fonctionnement:

Les mouvements contrôlés par des moteurs suivent couramment le cycle constitué de trois phases élémentaires :

- Phase d’accélération (au démarrage)
- Phase de régime établi (fonctionnement stable)
- Phase de décélération (Ralentissement avant l’arrêt)
machine à courant continu
*Le régime transitoire : (Accélération, décélération)
3. Equation générale de la dynamique:
D’après le principe fondamental de la dynamique on obtient l’équation:
$$J\frac{d\Omega }{dt}={{C}_{m}}-{{C}_{r}}$$
Cm : couple moteur (utile) en (N.m)
Cr : couple résistant (N.m)
J : moment d’inertie totale (moteur + charge) en (kg.m2)
Ω : vitesse de rotation de l’arbre moteur
vDétermination du moment d’inertie total J ramené sur l’arbre moteur :
moteur à courant continu
On note Jmle moment d’inertie du moteur et Jchle moment d’inertie de la charge on a:
L’énergie cinétique de la charge :
$$W=\frac{1}{2}{{J}_{ch}}{{\Omega }_{r\acute{e}d}}^{2}$$
L’énergie cinétique de la charge équivalente:
$$W'=\frac{1}{2}{{J}_{eq}}{{\Omega }^{2}}$$
La conservation de l’énergie cinétique impose:
$$W={W}'\Rightarrow {{J}_{eq}}={{J}_{ch}}\cdot {{\left( \frac{{{\Omega }_{r\acute{e}d}}}{\Omega } \right)}^{2}}\Rightarrow {{J}_{eq}}={{J}_{ch}}\cdot {{k}^{2}}$$
En déduire l’expression du moment d’inertie total ramené sur l’arbre moteur:
$$J={{J}_{m}}+{{J}_{ch}}\cdot {{k}^{2}}$$ III. Généralité sur la machine à courant continu:
1. Constitution:
machine à courant continu
§Stator «inducteur»:

C’est la partie fixe de la machine, il est constitué soit d'un aimant permanent, soit d'un enroulement d’excitation qui sert à créer un champ d’induction magnétique.

§Rotor «induit»:

C’est la partie mobile ou tournante de la machine, il est formé d’un empilage cylindrique de tôles isolées, Dans lequel des encoches en été aménagées afin de loger les conducteurs de l’enroulement rotorique. Le rotor est séparé du stator par un entrefer n’excédant pas quelques millimètres.

§Collecteur et balais:

Le collecteur est un ensemble de lames de cuivre où sont reliées les extrémités du bobinage de l’induit. Les balais (en charbons) sont situés au stator et frottent sur le collecteur en rotation.

2.Principe de fonctionnement:
a) Force de Laplace
Un conducteur de langueur L parcouru par un courant I et placé dans un champ magnétique B est soumis à une force dite force de Laplace.
$$\vec{F}=I\cdot \vec{L}\wedge \vec{B}$$
F en newtons (N),I en ampères (A),L en mètre (m),Ben tesla (T).
ØSa direction: elle est perpendiculaire à B et à I.
ØSon sens:est donné par la règle de la main droite:
force de laplace
b) Principe de création d’un couple moteur:

Lorsque l’inducteur est alimenté, il génère un flux magnétique dans le circuit magnétique, dirigé du nord vers le sud. Quand l’induit est alimenté, le conducteur (1) est parcouru par un courant I et d’après la loi de Laplace, soumis à une force $\overrightarrow{{{F}_{1}}}$. Le conducteur (2), situé sous l’autre pôle, est soumis à une force $\overrightarrow{{{F}_{2}}}$ de même intensité mais de sens opposé. L’ensemble de ces deux forces constitue un couple moteur qui entraîne le rotor.

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3. Différent modes d’excitation de la MCC:
On note Ie et I les courant continu d’excitation et d’induit:
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IV. Etude quantitative de la machine à courant continu:
1. Modèles équivalents de la MCC:
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a) Modèle équivalent de l’inducteur:
Lorsque l’inducteur n’est pas à aimants permanents, il est constitué de bobine alimentée par un courant continu Ie, appelé courant d’excitation. Elle est alors équivalente à sa résistance.
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$${{U}_{e}}={{R}_{e}}\cdot {{I}_{e}}$$ b) Modèle équivalent de l’induit:
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2. Force contre électromotrice induite:
Chaque spire est le siège d’une f.c.é.m(force contre électromotrice) E qui dépend de la structure de la machine:
$$E=K\cdot \Phi \cdot \Omega $$
Avec :
K: Constante liée à la structure de la machine.
Φ: Le flux moyen sous un pôle en Webers (Wb).
Ω: Vitesse angulaire de l’induit (rad/s)
3. Couple électromagnétique Cem :
La puissance électromagnétique Pem donne naissance au couple électromagnétique Cem:
\[{{P}_{em}}=\text{ }E\cdot I=\text{ }{{C}_{em}}\cdot \Omega ~~~~~~~~~~~~~~~~et~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{{C}_{em}}=\text{ }K\cdot \Phi \cdot I \] 4. Couple utile Cu:
En réalité le couple utile Cu (ou couple moteur Cm) dont on dispose sur l’arbre moteur est très légèrement inférieur au couple électromagnétique Cem.
$$Cu={{C}_{em}}-{{C}_{p}}$$
Avec Cp: couple de pertes (dû aux pertes ferromagnétiques et les pertes mécanique). Il se déduit d’un essai à vide:
$${{C}_{p}}=K\cdot \Phi \cdot {{I}_{0}}\text{              (}Cu={{C}_{r}}=0\Rightarrow {{C}_{p}}\text{=}{{C}_{em}}\text{)}$$
Comme sa valeur est très faible on peut toujours le négliger, ce qui conduit à :
$$Cu=K\cdot \Phi \cdot \left( I-{{I}_{0}} \right)\approx K\cdot \Phi \cdot I$$ 5. Fonctionnement à flux constant en régime établi:
On suppose que la machine est à exciter indépendante ou à aimants permanents. Par conséquent, le flux Φ est considéré constant et les relations précédentes se simplifient:
\[E=\text{ }{{K}_{e}}\cdot \Omega ~~~~~~~~~~~~~~~~et~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{{C}_{em}}=\text{ }{{K}_{c}}\cdot I\]
Avec: ${{K}_{e}}={{K}_{c}}=K\cdot \Phi $
Ke: Constante de f.c.è.m en V•s/rad.
Kc: Constante de couple en Nm/A.
6. Caractéristiques électromécaniques: Ω = f (I), Cem = g(I) et Cu(I) = h(I):
$$\left\{ {\matrix{
   {U = E + R \cdot I}  \cr
   {E = {K_e} \cdot \Omega }  \cr
 }  \Rightarrow \Omega  = {{U - R \cdot I} \over {{K_e}}} = {\Omega _0} - {{R \cdot I} \over {{K_e}}}} \right.$$ $${{\Omega }_{0}}=\frac{U}{{{K}_{e}}}\text{  est pratiquement la vitesse du moteur  }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{  vide}\text{.}$$
moteur à courant continu
Et on a: Cem=Kc•I
Cu = Kc•(I – I0)
moteur à courant continu
7. Caractéristique mécanique:
On a : $$\Omega ={{\Omega }_{0}}-\frac{R\cdot I}{{{K}_{e}}}$$ alors $$I=\frac{{{K}_{e}}}{R}\left( {{\Omega }_{0}}-\Omega \right)$$ Or $$Cu={{K}_{c}}\cdot \left( I-{{I}_{0}} \right)\approx {{K}_{c}}\cdot I=\frac{{{K}_{e}}{{K}_{c}}}{R}\cdot \left( {{\Omega }_{0}}-\Omega \right)$$ donc $$Cu=\frac{{{K}_{e}}{{K}_{c}}}{R}\cdot \left( {{\Omega }_{0}}-\Omega \right)$$
moteur à courant continu
8. Bilan des puissances en moteur et rendement:
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Le rendement est défini par:
$$\eta =\frac{{{P}_{u}}}{{{P}_{a}}+\left( {{P}_{exc}} \right)}$$
$\left( {{P}_{exc}} \right)$ puissance absorbée par inducteur (sauf aimant permanent) ${{P}_{exc}}={{U}_{e}}\cdot {{I}_{e}}$
Exemple:

Une machine à courant continu à aimant permanents fonctionne en moteur. La tension aux bornes de l’induit est U = 150V. la résistance des conducteurs de l’induit est égale à 0,3 Ohm et le courant absorbé à l’induit vaut 40A.

La machine tourne à 105 rad.s-1 et les pertes collectives valent 200W. Déterminer la puissance électromagnétique, le couple électromagnétique, la puissance et le couple utile puis le rendement.

Solution:
V. Identification de la plaque signalétique:

Elle porte en particulier les caractéristiques nominales de la machine correspondant au fonctionnement nominal de la machine.

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VI. Démarrage des moteurs à excitation séparée:
Lors de démarrage E = 0 car Ω = 0 le courant de démarrage est exprimé par:
$${{I}_{D}}=\frac{{{U}_{N}}-E}{R}=\frac{{{U}_{N}}}{R}$$
Ce courant est très grand donc on ne peut pas démarrer le moteur à courant continu à excitation séparée directement sous tension nominale.
Exemple:
La résistance d’induit d’un moteur de petite puissance vaut R = 5 Ohm.
Ces caractéristiques nominales : UN= 170 V IN = 3,5 A

Si ce moteur est alimenté sous sa tension nominale au démarrage, ses enroulements d’induit seraient soumis à un courant de démarrage ID = 34A qui est très supérieur à IN. afin de ne pas endommager les enroulements d’induit, il est nécessaire de limiter le courant de démarrage, soit en insérant une résistance, soit en démarrant sous tension réduite U << UN (généralement U = UN / 10)

VII. Etude en régime transitoire :
On étudie le cas d’un moteur à flux constant (à excitation séparée ou à aimants permanents)
1. Régime transitoire électrique:
Ce régime décrit par l’équation $U=E+R\cdot i+L\cdot \frac{di}{dt}$
Au démarrage Ω = 0 → E = 0
Ce qui donne sous la forme canonique : $\frac{U}{R}=i+\frac{L}{R}\cdot \frac{di}{dt}$
Ce régime s’établit donc avec une constante du temps: ${{\tau }_{e}}=\frac{L}{R}$
2. Régime transitoire mécanique:
Ce régime est décrit par le P.F.D : $J\frac{d\Omega }{dt}={{C}_{u}}-{{C}_{r}}$
Or ${{C}_{u}}={{C}_{em}}-{{C}_{p}}$
En négligeant les pertes ferromagnétiques, le couple de pertes collectives Cp correspondra donc au couple de frottement visqueux proportionnel à la vitesse avec un coefficient f appelé « constante de frottement visqueux » : ${{C}_{p}}=f\cdot \Omega $
Alors $J\frac{d\Omega }{dt}={{C}_{em}}-f\cdot \Omega -{{C}_{r}}\text{   }\Rightarrow \text{   }J\frac{d\Omega }{dt}+f\cdot \Omega ={{C}_{em}}-{{C}_{r}}$
1ère approximation : au démarrage $J\frac{d\Omega }{dt}\gg f\cdot \Omega $
Alors : $J\frac{d\Omega }{dt}={{C}_{em}}-{{C}_{r}}$
2ème approximation : Le régime électrique est plus rapide que le régime mécanique (le courant i s’établit instantanément → on néglige $\frac{di}{dt}$ )
Alors on peut écrire : $U=E+R\cdot I$ ; ${{C}_{em}}=K\cdot I$ ; $E=K\cdot \Omega $
$$\eqalign{
  & J{{d\Omega } \over {dt}} = {C_{em}} - {C_r} = K \cdot I - {C_r} \Rightarrow J{{d\Omega } \over {dt}} = K \cdot \left( {{{U - E} \over R}} \right) - {C_r}  \cr
  & {\rm{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}} \Rightarrow J{{d\Omega } \over {dt}} = {{K \cdot U} \over R} - {{{K^2}\Omega } \over R} - {C_r}  \cr
  & {\rm{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}} \Rightarrow J{{d\Omega } \over {dt}} + {{{K^2}\Omega } \over R} = {{K \cdot U} \over R} - {C_r} \cr} $$
Ce qui donne sous la forme canonique :
$$\frac{J\cdot R}{{{K}^{2}}}\cdot \frac{d\Omega }{dt}+\Omega =\frac{U}{K}-\frac{R}{{{K}^{2}}}\cdot {{C}_{r}}$$
Ce régime s’établit donc avec une constante du temps : $\tau =\frac{JR}{{{K}^{2}}}\text{   }\left( \tau \gg {{\tau }_{e}} \right)$
  • La vitesse finale atteinte par ce moteur : ${{\Omega }_{\infty }}=\frac{U}{K}-\frac{R}{{{K}^{2}}}\cdot {{C}_{r}}$
  • A vide ( Cr = 0 ) la vitesse finale atteint : ${{\Omega }_{\infty }}=\frac{U}{K}$
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