Alimentation et stockage de l'énergie

Niveau: BAC +
I.     Introduction :
            L’électricité est une forme d’énergie intéressante car elle est facile à être transportée et distribuée, mais elle n’est pas disponible naturellement sur terre ; elle est donc produite par conversion d'autres formes d'énergie élémentaires (hydraulique, mécanique, lumière…). Cette conversion en énergie électrique doit être efficace et continue (de quantité) pour pouvoir répondre au besoin – toujours croissant et incessant – de l’électricité.
            La production de l’énergie électrique est faite dans des sites de production appelés centrales ou parcs de production, reliés à un réseau assurant :
-          La gestion optimale de ces parcs de production.
-          Le transport et la distribution vers des lieux de consommation.
II.     Topologie du réseau électrique :
La figure ci-dessous illustre l’organisation d’un réseau électrique qui est composé de parcs de production, d’un réseau de transport, des postes de répartition et d’un réseau de distribution. Avec des étapes d’élévation et de baisse du niveau de tension dans des postes de transformation.
Figure 1 : Topologie du réseau électrique
     Les générateurs des centrales électriques fournissent généralement une tension comprise entre 5 et 20 kV. Cette tension est élevée à une valeur de 400 kV afin d’être transportée vers les centrales de répartition (dispatching) puis la tension est progressivement réduite au plus près de la consommation, pour arriver aux différents niveaux de tension (potentiel) auxquels sont raccordés les consommateurs. (225kV, 90kV, 63 kV, 20kV, 230/380V selon le besoin).
Appellation normalisée
Niveau de tension usuel
(en France)
Ancienne appellation
(toujours d’usage courant)
Niveau de tension usuel
(en France)
HTB
>50 000V
Très haute tension (THT)
225 000V--- 400 000V
HTA
1000V---50 000V
Haute tension (HT)
63 000V --- 90 000V
BTB
500V---1000V
Moyenne tension (MT)
20 000V
BTA
50V---500V
Basse tension (BT)
230V/380V
1.   Sources d’énergie:
§  Les sources d’énergies renouvelables : l’énergie provenant de ressources que la nature renouvelle sans cesse (eau, vent, soleil), elles sont inépuisables et non polluantes.
§  Les sources d’énergies non renouvelables : l’énergie provenant de ressources dont les stocks sur Terre sont limités (pétrole, charbon, gaz, uranium). Ils sont polluantes (les centrales qui utilisent ces sources d’énergies produisent des gaz à effet de serre, en particulier d’énormes quantités de dioxyde de carbone).
2.   Les centrales électriques:
§  Principe :

§  Centrale hydraulique :

§  Centrale thermique :
§  Centrale nucléaire :

3.   Transport et interconnexion:
Il permet de :
§  Raccordement des centrales entre elles. Pour assurer la continuité de l’énergie même au cas de la défaillance d’une centrale.
§  véhicule le flux d’énergie entre les lieux de production et les grandes régions de consommation.
4.   Répartition (Dispatching):
Il permet :
§  L’aiguillage des flux d’énergies provenant des parcs de production vers les lieux de consommation.
§  La gestion de l’équilibre entre la production et la consommation.
§  Surveiller en permanence l’acheminement de l’électricité sur le réseau.
§  Effectuer les réglages nécessaires pour stabiliser le réseau.
5.   Distribution :
Elle permet de fournir l’énergie électrique aux petits, moyennes et grands consommateurs terminaux (particuliers, petites et moyennes entreprises et industries, centres commerciaux, TGV, usines…).
III.     Alimentation en régime sinusoïdal:
1.    Caractéristiques d’un signal électrique périodique :
Un signal s(t) est dit périodique de période T si :$s\left( t \right)=s\left( t+T \right)$
On définit :
         La fréquence f  (en Hz) par : $f=\frac{1}{T}$.
         La pulsation ω (en rad/s) par :$\omega =2\pi f=\frac{2\pi }{T}$
         La valeur moyenne notée Smoy par :
\[{{S}_{moy}}=s\left( t \right)=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{s(t)}\text{ }dt\]
         La valeur efficace notée Seff (ou S) par :
$${{S}_{eff}}=\sqrt{\left\langle s{{\left( t \right)}^{2}} \right\rangle }=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{{{\left( s\left( t \right) \right)}^{2}}}dt}$$
Remarques :
      Par un simple changement de variable $\theta =\omega \cdot t$ on obtiendra :
\[{{S}_{moy}}=\left\langle s\left( t \right) \right\rangle =\frac{1}{2\pi }\int_{0}^{2\pi }{s\left( \theta  \right)\text{ }}d\theta \]
$${{S}_{eff}}=\sqrt{\frac{1}{2\pi }\int_{0}^{2\pi }{{{\left( s\left( \theta  \right) \right)}^{2}}}d\theta }$$
      Tout signal périodique dont la valeur moyenne est nulle est appelé : signal alternatif.
      Tout signal périodique peut se décomposer en une somme d’un signal alternatif et de sa valeur moyenne :

Propriété :
Si on a s(t) = s1(t) + s2(t) avec s1, s2 et s tous des signaux périodiques alors :
         $\left\langle s\left( t \right) \right\rangle =\left\langle {{s}_{1}}\left( t \right) \right\rangle +\left\langle {{s}_{2}}\left( t \right) \right\rangle $
         ${{S}_{eff}}\ne {{S}_{1eff}}+{{S}_{2eff}}$   (sauf cas particulier)
2.    Système alternatif sinusoïdal monophasé:
Le signal sinusoïdal est le plus important de tous les signaux périodiques, car dans une distribution électrique par exemple, les tensions générées par les alternateurs des centrales électriques, sont des tensions alternatives sinusoïdales de fréquence 50 Hz.
L’expression temporelle d’un signal alternatif sinusoïdale est :
Sa valeur moyenne : $\left\langle s\left( t \right) \right\rangle =0$
Sa valeur efficace : $S=\frac{\widehat{S}}{\sqrt{2}}=\frac{{{S}_{\max }}}{\sqrt{2}}$        (cette formule n’est valable que pour un signal sinusoïdal alternatif)
On peut écrire alors : $s\left( t \right)=S\sqrt{2}~\sin \left( \omega t+\varphi  \right)$
Remarque :
Il est également possible de décrire le signal s(t) en utilisant la fonction cosinus : 
$$s\left( t \right)=\hat{S}\cos \left( \omega t+\varphi ' \right)$$
a)   Représentation temporelle :
Soit le signal électrique : $s\left( t \right)=S\sqrt{2}\sin \left( \omega t+\varphi  \right)$
Si on a ${{s}_{1}}\left( t \right)={{S}_{1}}\sqrt{2}\sin \left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right)$
       Et ${{s}_{2}}\left( t \right)={{S}_{2}}\sqrt{2}\sin \left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right)~$
On définit le déphasage entre s1(t) et s2(t) par $\varphi =\left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right)-\left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right)={{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}$
Si $\varphi >0$  on dit que s1(t) est en avance de phase par rapport à s2(t).
Si $\varphi <0$  on dit que s1(t) est en retard de phase par rapport à s2(t).
b)   Représentation vectorielle de Fresnel :
Soit une grandeur alternative sinusoïdale :  $s\left( t \right)=S\sqrt{2}\sin \left( \omega t+\varphi  \right)$
A cette grandeur on associe un vecteur  appelé vecteur de Fresnel telle que :
-       S est le module de ${\overrightarrow{S}}$
-       φ est le la phase de ${\overrightarrow{S}}$ par rapport à la référence choisie.
L’intérêt de la représentation de Fresnel réside dans :
-        la somme de deux grandeurs sinusoïdales :
Si on a ${{s}_{1}}\left( t \right)={{S}_{1}}\sqrt{2}\sin \left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right)$  et ${{S}_{2}}\left( t \right)={{S}_{2}}\sqrt{2}\sin \left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right)$ avec ${{\varphi }_{1}}>{{\varphi }_{2}}>0$
Tel que : s(t) = s1(t) + s2(t) à $s\left( t \right)=S\sqrt{2}\sin \left( \omega t+\varphi  \right)\to \overrightarrow{S~}=\overrightarrow{{{S}_{1}}}+\overrightarrow{{{S}_{2}}}$
-       Dérivation d’une grandeur sinusoïdale :
Soit $s\left( t \right)=S\sqrt{2}\sin \left( \omega t+\varphi  \right)$
$${{ds\left( t \right)} \over {dt}} = S\sqrt 2 \omega \cos \left( {\omega t + \varphi } \right) = S\sqrt 2 \omega \sin \left( {\omega t + \varphi  + {\pi  \over 2}} \right)$$
Alors le vecteur dérivé a pour module $S\omega $  et de direction perpendiculaire et en avance par rapport à  $\overrightarrow{S}$.

-        Intégration d’une grandeur sinusoïdale :
Soit $s\left( t \right)=S\sqrt{2}\sin \left( \omega t+\varphi  \right)$
$$\mathop{\int }^{}s\left( t \right)dt=\frac{-S\sqrt{2}}{\omega }\cos \left( \omega t+\varphi  \right)=\frac{S\sqrt{2}}{\omega }\sin \left( \omega t+\varphi -\frac{\pi }{2} \right)$$
Alors le vecteur intégral a pour module ${}^{S}/{}_{\omega }$  et de direction perpendiculaire et en retard par rapport à  $\overrightarrow{S}$
c)    Représentation complexe :
Soit $s\left( t \right)=S\sqrt{2}\sin \left( \omega t+\varphi  \right)$on associe à cette grandeur un nombre complexe s
Tel que :$\underset{\scriptscriptstyle-}{s}=S\sqrt{2}\cos \left( \omega t+\varphi  \right)+j~S\sqrt{2}\sin \left( \omega t+\varphi  \right)$ donc  $s\left( t \right)=Im\left( {\underset{\scriptscriptstyle-}{s}} \right)$
                 $~=~S\sqrt{2}~{{e}^{j\left( \omega t+\varphi  \right)}}=S\sqrt{2}~{{e}^{j\varphi }}{{e}^{j\omega t}}$
L’expression $S\sqrt{2}~{{e}^{j\varphi }}$  est appelée amplitude complexe
                      $S{{e}^{j\varphi }}$  est appelée valeur efficace complexe
Intérêt de la représentation complexe :
$$\frac{d\underset{\scriptscriptstyle-}{s}}{dt}=j\omega \cdot S\cdot \sqrt{2}{{e}^{j\left( \omega t+\varphi  \right)}}=j\omega ~\underset{\scriptscriptstyle-}{s}~\to ~~\frac{d}{dt}~\leftrightarrow j\omega $$
$$\mathop{\int }^{}\underset{\scriptscriptstyle-}{s}dt=\mathop{\int }^{}S~\sqrt{2}{{e}^{j\left( \omega t+\varphi  \right)}}dt=\frac{1}{j\omega }S\sqrt{2}{{e}^{j\left( \omega t+\varphi  \right)}}=\frac{1}{j\omega }~\underset{\scriptscriptstyle-}{s}~\to ~~\mathop{\int }^{}\leftrightarrow \frac{1}{j\omega }$$
d)   Impédance complexe des dipôles linéaires élémentaires:
L’impédance (Z) et l’admittance (Y) complexes d’un dipôle sont définis par :
$$Z=\frac{{\underset{\scriptscriptstyle-}{u}}}{{\underset{\scriptscriptstyle-}{i}}}=\frac{U\sqrt{2}{{e}^{j\left( \omega t+{{\varphi }_{u}} \right)}}}{I\sqrt{2}{{e}^{j\left( \omega t+{{\varphi }_{i}} \right)}}}=\frac{U~}{I}{{e}^{j\left( {{\varphi }_{u}}-{{\varphi }_{i}} \right)}}~~~~~~;~~~~~Y=\frac{1}{Z}=\frac{I~}{U}{{e}^{j\left( {{\varphi }_{i}}-{{\varphi }_{u}} \right)}}$$
v  Résistance :




v(t) = R•i(t) è v = R•i
D’où    ${{Z}_{R}}=\frac{\underline{v}}{\underline{i}}=R$


v  Inductance:




$v\left( t \right)=L\frac{di\left( t \right)}{dt}~\to \underset{\scriptscriptstyle-}{v}=jL\omega \underset{\scriptscriptstyle-}{i}$
D’où ${{Z}_{L}}=\frac{\underline{v}}{\underline{i}}=jL\omega $   



v  Capacité:






$i\left( t \right)=C\frac{dV\left( t \right)}{dt}~\to \underset{\scriptscriptstyle-}{i}=jC\omega \underset{\scriptscriptstyle-}{V}$
D’où  ${{Z}_{C}}=\frac{\underline{v}}{\underline{i}}=\frac{1}{jC\omega }$
3.    Système alternatif sinusoïdal triphasé équilibré :
Un système triphasé équilibré de tensions (ou de courants) est formé de 3 grandeurs sinusoïdales de même valeurs efficace et de même fréquence et déphasées de 120° les unes par rapport aux autres.

On définit :
         Une tension simple ${{\underline{V}}_{i}}$: différence de potentiel entre la phase i et le neutre.

v1(t)=V2sin(ωt)v2(t)=V2sin(ωt2π3)v3(t)=V2sin(ωt4π3)
         Une tension composée ${{\underline{U}}_{ij}}={{\underline{V}}_{i}}-{{\underline{V}}_{j}}$: différence de potentiel entre la phase i et la phase j.
u12(t)=v1(t)v2(t)=U2sin(ωt+π6)u23(t)=v2(t)v3(t)=U2sin(ωtπ2)u31(t)=v3(t)v1(t)=U2sin(ωt7π6)
Avec la valeur efficace de la tension composée : $U=\sqrt{3}\cdot V$
         Les courants en ligne : ${{i}_{1}}\left( t \right);{{i}_{2}}\left( t \right);{{i}_{3}}\left( t \right);{{i}_{N}}\left( t \right)$
On a : $\underline{{{I}_{1}}}+\underline{{{I}_{2}}}+\underline{{{I}_{3}}}=\underline{{{I}_{N}}}$
Si le récepteur est équilibré alors : $\underline{{{I}_{N}}}=0$
a)    Représentation temporelle :
Figure 2 : Représentation temporelle des tensions simples et composées.
b)    Représentation de Fresnel:















Si les phases sont ordonnées dans le sens horaire on dit que : le système est direct.
Si les phases sont ordonnées dans le sens trigonométrique on dit que : le système est inverse.
c)    Récepteur triphasé équilibré:
§  Couplage étoile : (Y)

Les impédances sont alimentées par des tensions simples.
§  Couplage triangle : (Δ)

Les impédances sont alimentées par des tensions composées.
§  Un récepteur est dit équilibré si : Z1 = Z2 = Z3 = Z
§  Si le récepteur est équilibré alors on a :
I1 + I2 + I3 = 0  et I1 = I2 = I3 = I
J1 + J2 + J3 = 0  et J1 = J2 = J3 = J
Avec la valeur efficace des courants en ligne : $I=\sqrt{3}\cdot ~J$
Exemple :
Donner le couplage à effectuer selon les caractéristiques du réseau et du récepteur

4.    Puissance en régime alternatif sinusoïdal équilibré :
§  Puissance instantanée :$p\left( t \right)=v\left( t \right)\cdot i\left( t \right)$
Si $p\left( t \right)>0~$: la puissance est transmise du réseau vers le récepteur.
Si $p\left( t \right)<0~$: la puissance est transmise du récepteur vers le réseau.
§  Puissance active (P en Watt (W)) : correspond à la puissance « consommée » par le récepteur, c’est la seule puissance qui peut être transformée en énergie mécanique, thermique, lumineuse …
§  Puissance réactive (Q en Voltampères réactifs (Var)) : sert à la magnétisation des circuits magnétiques des machines électriques (transformateurs, moteurs, …).
§  Puissance apparente (S en Voltampères (VA)) : elle permet de dimensionner les appareils électriques.
Tableau 1 : Calculs de la puissance active, réactive et apparente.
On donne le triangle de puissance :
Le $\cos (\varphi )=\frac{P}{S}$  est appelé : facteur de puissance.
a)   Puissance consommée par dipôles passifs élémentaires:
5.    Mesures de la puissance en régime triphasé:
a)   Le wattmètre :
Un wattmètre permet de mesurer la puissance active consommée par un dipôle.
En régime sinusoïdale il indique :
\[W=v\left( t \right)\cdot i\left( t \right)=\vec{V}\cdot \vec{I}=V\cdot I\cos \left( \widehat{\overrightarrow{V},\overrightarrow{I}} \right)\]
L’indication est algébrique.
b)    Méthode d’un seul wattmètre:
c)    Méthode des deux wattmètres :
Exemple :
La mesure des puissances par la méthode des deux wattmètres a donné : P1= 300W et P2 = 200W
P = P1 + P2 = 300 + 200 = 500 W ; $\text{Q}=\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\sqrt{3}\left( {{\text{P}}_{1}}-{{\text{P}}_{2}} \right)=173,2\text{ }\!\!~\!\!\text{ VAr}$; $\text{S}=\sqrt{{{\text{P}}^{2}}+{{\text{Q}}^{2}}}=529,15\text{ }\!\!~\!\!\text{ VA}$ Théorème de Boucherot:
     Les puissances actives et réactives totales absorbées par un groupement de dipôles sont respectivement égales à la somme des puissances actives et réactives absorbées par chaque élément de groupement.
${{P}_{tot}}=\underset{i}{\mathop \sum }\,{{P}_{i}}~~~~~~~~~et~~~~~~~~~{{Q}_{tot}}=\underset{i}{\mathop \sum }\,{{Q}_{i}}$
Attention : ce théorème ne s’applique pas à la puissance apparente Stot  On a alors :
${{S}_{tot}}=\sqrt{{{P}_{tot}}^{2}+{{Q}_{tot}}^{2}}$
Exemple :
Une installation comporte :
-       8 moteurs asynchrones couplés en étoile sur un réseau 230V/400V : 50 Hz, appelle chacun une intensité du courant en ligne égale à 12,6A.
-       Un pont roulant de puissance apparente Sp = 12 kVA et de facteur de puissance kp= 0.8
1)   Calculer la puissance active Pm et réactive Qm absorbées par chaque moteur sachant que l’on a $\cos \left( \varphi  \right)=0.75$  pour ce fonctionnement.
2)   Calculer la puissance active Pp et réactive Qp absorbée par le pont roulant.
3)   Calculer le facteur de puissance globale de l’installation.
Solution:
6.    Relèvement du facteur de puissance :
     Lorsqu’une installation électrique présente un faible facteur de puissance, les courants absorbés en ligne augmentent pour le transport d’une puissance active donnée. Ceci engendre des pertes supplémentaires dans les lignes électriques, entraînant un surcoût pour de distributeur d’énergie.
     Le fournisseur de l’énergie impose aux industriels un facteur de puissance minimal à respecter (ex : 0,8).
Une solution consiste à placer en tête de l’installation une batterie de condensateurs qui vont fournir de la puissance réactive cette technique est appelé compensation de l’énergie réactive.
On a (d’après théorème de Boucherot) : ${Q}'=Q+{{Q}_{C}}$
Or : $Q=P\tan \left( \varphi  \right)$ et  ${Q}'=P\tan \left( \varphi ' \right)$
Donc : ${{Q}_{C}}={Q}'-Q=P\left( \tan \left( \varphi ' \right)-\tan \left( \varphi  \right) \right)$
Tableau 2 : Amélioration du facteur de puissance en régime monophasé et triphasé.
Exemple :
On désire relever le facteur de puissance de l’installation  de l’exemple précédent $\left( \cos \left( {{\varphi }_{in}} \right)=0.7576 \right)$ pour l’amener à la valeur $\cos \left( \varphi ' \right)=0.95$, la puissance active absorbée reste la même Ptot = 61976 W.
1)   Calculer la nouvelle puissance réactive Q’ de l’ensemble (batterie de condensateurs + installation)
2)   En déduire la valeur de la capacité C de chacun des trois condensateurs montés en triangle.
Solution:
7.    Qualité de l’énergie électrique :
La qualité de l’énergie électrique (QEE) est un facteur essentiel qui affecte directement la santé des équipements (bon fonctionnement, duré de vie, etc.), La mesure de QEE sur un réseau consiste à caractériser les perturbations électromagnétiques conduites basse fréquence.
-          Creux de tension et coupures.
-          Harmoniques.
-          surtensions.
-          fluctuations de tension.
-          déséquilibres de tension.
Dans la suite du cours on ne s’intéressera qu’à la distorsion harmonique dans le réseau électrique.
a)   Effets des harmoniques dans un réseau de distribution :
Les harmoniques sont des tensions ou les courants sinusoïdaux dont les fréquences sont des multiples entiers de la fréquence du réseau 50 Hz (fondamental). Ils sont généralement crées par des dispositifs à caractéristiques tension/courant non linéaire :
-          Les appareils de production et distribution (transformateurs, convertisseurs de fréquence…).
-          Les charges industrielles (convertisseurs de puissance, variateurs de vitesse, …)
-          Les charges domestiques (TV, ordinateurs, gradateurs de lumière, lampes fluorescentes …)
La présence des proportions élevées d’harmoniques dans le réseau peuvent :
-          Réduire le rendement énergétique de l’installation.
-          Accélérer le vieillissement des équipements.
-          Dégrader le facteur de puissance.
-          Engendrer des vibrations et des pertes supplémentaires.
-          Provoquer des déclenchements intempestifs des installations.
-          Etc.
La superposition des harmoniques avec une composante sinusoïdale fondamentale donne un signal périodique non sinusoïdal x(t) qui peut être décomposé en une série de Fourier :
x(t)=X0++n=1ancos(nωt)+bnsin(nωt)        =X0++n=1Xn2sin(nωt+φn)
Avec :
\[{X_0} = {1 \over T}\int_0^T {s\left( t \right)} dt;{a_n} = {2 \over T}\int_0^T {s\left( t \right)} \cos \left( {n\omega t} \right)dt;{b_n} = {2 \over T}\int_0^T {s\left( t \right)} \sin \left( {n\omega t} \right)dt\]
$\eqalign{
{X_n}\sqrt 2  = \sqrt {{a_n}^2 + {b_n}^2} ;{\varphi _n} = {\tan ^{ - 1}}\left( {{{{a_n}} \over {{b_n}}}} \right)} $
La valeur efficace de x(t) :                                                             
$X=\sqrt{{{X}_{0}}^{2}+{{X}_{1}}^{2}+{{X}_{2}}^{2}+{{X}_{3}}^{2}+\ldots }$
La pollution harmonique est caractérisée par le taux de distorsion harmonique TDH ou (THD : Total Harmonic Distorsion) :
$\eqalign{
TDH=\frac{{{X}_{H}}}{{{X}_{1}}}=\frac{\sqrt{{{X}_{2}}^{2}+{{X}_{3}}^{2}+{{X}_{4}}^{2}+\ldots }}{{{X}_{1}}}} $
Parfois exprimé en pourcentage $TDH\left( \%  \right) = 100 \cdot TDH$
XH : valeur efficace des harmoniques.
b)   Puissances d’une charge non linéaire :
Outre que la puissance active (P) et réactive (Q), Les charges non linéaires absorbent une autre puissance appelée : Puissance déformante (D en voltampères déformante (VAd)).

$S=\sqrt{{{P}^{2}}+{{Q}^{2}}+{{D}^{2}}}$
On définit :
§  Facteur de déplacement :
$${{f}_{DP}}=\cos \left( {{\varphi }_{1}} \right)=\frac{P}{S1}=\frac{P}{\sqrt{{{P}^{2}}+{{Q}^{2}}}}$$
§  Facteur de puissance :
$${{f}_{p}}=\cos \left( {{\varphi }} \right)=\frac{P}{S}=\frac{P}{\sqrt{{{P}^{2}}+{{Q}^{2}}+{{D}^{2}}}}$$
Exemple : (Régime monophasé : v(t) alternatif sinusoïdale, i(t) périodique)
 On se place dans le cas le plus fréquent : $\left\langle i(t) \right\rangle =0A$ alors on aura :
$$\eqalign{
  & v\left( t \right) = V\sqrt 2 \sin \left( {\omega t} \right);i\left( t \right) = \mathop {\mathop \sum \limits^{ + \infty } }\limits_{n = 1} {\mkern 1mu} {I_n}\sqrt 2 \sin \left( {n\omega t + {\varphi _n}} \right) = {I_1}\sqrt 2 \sin \left( {\omega t + {\varphi _1}} \right) +   \cr
  & {\rm{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}} + \mathop {\mathop \sum \limits^{ + \infty } }\limits_{n = 2} {\mkern 1mu} {I_n}\sqrt 2 \sin \left( {n\omega t + {\varphi _n}} \right) \cr} $$
On note I la valeur efficace de i(t)
Les différentes puissances :
$\eqalign{
  & P = V{I_1}\cos \left( {{\varphi _1}} \right);Q = V{I_1}\sin \left( {{\varphi _1}} \right);S1 = V{I_1};  \cr
  & D = V{I_H} = V\sqrt {{I_2}^2 + {I_3}^2 + {I_4}^2 +  \ldots } ;S = VI;  \cr
  & {f_p} = {P \over S} = {{\cos \left( {{\varphi _1}} \right)} \over {\sqrt {1 + {{\left( {TDHi} \right)}^2}} }} \cr} $
IV.     Stockage de l’énergie électrique:
Soit un dipôle soumis à une tension u(t) et parcouru par un courant i(t) . La puissance instantanée p(t) (en Watt) est définie par :
\[p\left( t \right) = u\left( t \right)\cdot i\left( t \right)\]
On définit la quantité d’énergie transférée au dipôle pendant un intervalle du temps Δt par :
\[E=\int_{\left( \Delta t \right)}{p\left( t \right)}dt=\int_{\left( \Delta t \right)}{u\left( t \right)\cdot i\left( t \right)}dt\]
L'énergie s'exprime en joule (J) (dans le système international d'unités)  et on a : 1J = 1W•1s.
Souvent exprimé en kilowatt-heure (kWh) soit : 1 kWh = 3,6 106 J
La capacité de stockage de l’énergie par une batterie est donnée par : $C=I\cdot \Delta t$ (en Ampère-heure Ah)
Ainsi une batterie de capacité 100Ah peut débiter un courant de 1A pendant 100 heures ou un courant de 100A pendant 1 heure.

Dans les systèmes embarqués l’énergie électrique est stockée principalement dans les piles, les batteries d’accumulateurs, les supercondensateurs … voir détails en cliquant ici

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